Los sistemas de ecuaciones lineales y el Teorema de Rouché-Fröbenius

INTRODUCCIÓN

Los sistemas de ecuaciones lineales están formados por varias ecuaciones de primer grado, con varias incógnitas.

Así     2x - 3y + z = 1

            x + y - z = 0

          3x - y + 2z = - 1         es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Para su resolución se emplea el método matricial de Gauss, que triangulariza el sistema, obteniendo otro sistema equivalente y fácil de resolver. En este caso se transforma en el sistema:

  x + y - z = 0

   - 5y + 3z = 1

           13z = - 9     Que fácilmente se resuelve, pues z = - 9 / 13, y  sustituyendo en la segunda ecuación nos queda y = 8 /13. Sustituimos en la primera y obtenemos  z = -17/13

Por tanto la solución única es:    x = - 1/13,  y = - 8/13,  z = - 9/13

Se dice que es un Sistema Compatible Determinado, pues tiene una única solución.

Pero puede suceder que el sistema tenga infinitas soluciones, y le llamamos Sistema Compatible Indeterminado. Y si no tiene solución, se le denomina Sistema Incompatible.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

Está basado en el Rango de la matriiz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada con los términos independientes (A´)

Si r(A) = r(A´) = nº incógnitas, el Sistema es Compatible Determinado.

Si r(A) = r(A´) < nº incógnitas, el Sistema es compatible Indeterminado.

Si r(A) es distinto al r(A´), el sistema es Incompatible.

Rango de una matriz

Es el número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor determinante distinto de cero.

También se puede calcular triangularizando la matriz A´. Si sale una fila toda cero quiere decir que es combinación lineal de las anteriores.

Ejemplo.  Hallar el rango de A y de la matriz ampliada del  sistema:

x + 2y + 3z = - 1

2x + y - z = 0

3x + 3y + 2z = 1       Formamos la matriz Ampliada, A´:

1  2   3     -1

2  1   -1    0

3   3   2    1      La triangularizamos:

Hacemos cero el elemento a21. Para ello multipicamos la Fila 1 por -2 y la sumamos a la segunda, y nos queda:

1     2     3      -1

0   - 3   - 7      2

3     3     2       1

Hacemos cero el elemento a31, multiplicando la Fila 1 por - 3 y la sumamos a la tercera, y nos queda:

1     2     3     - 1

0   - 3   - 7      2

0    -3    - 7     4

Hacemos cero el elemento a32, restando a la fila 2 la fila 3, y nos queda:

1    2     3     - 1

0   -3   - 7      2

0    0     0     - 2    Esta es la matriz triangularizada, observando que:

r(A) = 2  y  r(A´) = 3, por lo que el sistema será Incompatible.