Didáctica de distancias entre puntos, rectas y planos en el espacio (I)

INTRODUCCIÓN

En artículo anterior hemos visto los productos de vectores. Uno de ellos es el producto escalar de vectores. Al conjuntol V3 de los vectores libres del plano dotado del producto escalar se le llama Espacio Vectorial Euclídeo, que es donde vamos a estudiar ahora las siguientes distancias:

1) Distancia de un punto a una recta.

2) Distancia de un punto a un plano.

3) Distancia entre dos planos.

La didáctica que empleamos está apoyada en las ilustraciones, en las que transcribimos el enunciado del problema, que facilita enormemente el planteamiento y la consecución del resultado. Nos ha sido muy eficaz en las explicaciones a los alumnos, que en muchas ocasiones no sabían cómo abordar el problema. El razonamiento se potencia mucho.

1)DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Es la menor distancia, es decir la perpendicular. Dibujamos un punto P y la recta r, con su vector director v, y un punto de ella A en perpendicular a P. Trazamos la distancia, que llamamos d. Es el módulo del vector PA.

Tenemos que calcular las coordenadas del punto A. Para ello trazamos un plano que pasa por P y perpendicular a la recta, con su vector asociado n. Resulta que A es la intersección del plano con la recta.

El plano está determinado por P y n = v. Resolvemos el sistema y hallamos A.

Entonces d(P, r) = I PA I

Ejemplo 1. Hallar la distancia del punto P (1, 2, 3) a la recta r: (x -1) / 2 = (y + 1) / - 1 = z / 3

Hallamos el plano que pasa por P y es perpendicular a la recta r. Esta recta tiene de vector director v (2, - 1, 3) que será el vector n asociado al plano.

Tendremos 2x - y + 3z + D = 0 Como pasa por P (1, 2, 3) se satisface, es decir sustituimos, y nos queda 2.1 + (- 1).2 + 3. 3 + D = 0 implica que D = - 9. Por tanto la ecuación del plano viene dada por 2x - y + 3z - 9 = 0

Hallamos la intersección del plano con la recta. Para ello ponemos las paramétricas de la recta y las sustituimos en el plano r : x = 1 + 2t, y = - 1 - t, z = 3t

2(1 + 2t) - 1(- 1 - t) + 3(3t) - 9 = 0 implica - 6 + 14t = 0 implica t = 3/7 Sustituyendo en la recta nos queda el punto A (13 / 7, 4 / 7, 9 / 7)

d(P, A) = I PA I = Raiz( (13/7 - 1)^2 + (4/7 - 2)^2 + (9/7 - 3)^2 ) = 2´38 (Utilizar calculadora)

Ejercicio 1. Hallar la distancia del punto P (1, 0, - 2) a la recta r:

x = - 1 + 2t

y = 1 - t

z = - t

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Es la menor distancia, medida en la perpendicular del punto P al plano.

Dibujamos un plano con su vector asociado n. Tomamos un punto P fuera del plano y trazamos por él, la recta perpendicular al plano r, con su vector director v. Corta al plano en el punto A, que tendremos que conseguir. Entonces d (P, plano) = I PA I

El punto A se obtiene con la intersección de la recta r con el plano. la recta r está definida por P y su vector director v es n.

Ejemplo 2. Hallar la distancia del punto P (1, 2, 3) al plano 2x - y - 2z + 3 = 0

El vector director del plano es n ( 2, - 1, - 2), que será también el de la recta r perpendicular al plano. Por tanto la ecuación de la recta r es:

x = 1 + 2t

y = 2 - t

z = 3 - 2t

Hallamos el punto donde se corta esta recta y el plano, resolviendo el sistema. Para ello sustituimos la recta en el plano, y tenemos: 2( 1 + 2t) - (2 - t) - 2(3 - 2t) + 3 = 0 implica que - 3 + 9t = 0 implica t = 1/3. Sustituimos en la recta y obtenemos el punto A(5/3, 5/3, 7/3)

d( P, plano) = I PA I = Raiz(( 5/3 - 1)^2 + ( 5/3 - 2)^2 + ( 7/3 - 3))^2 ) = 1

Ejercicio 2. Hallar la distancia del origen de coordenadas al plano x - 3y + z - 1 = 0

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS

Los planos han de ser paralelos. Los dibujamos. Colocamos un punto P cualquiera en el plano superior, y trazamos por él una recta, r perpendicular, que corta en A al plano inferior. Dibujamos los vectores asociados a los planos, n, y el vector director de la recta, v. El punto P lo encontramos en el plano superior. La recta r queda determinada por A y v = n

d (plano, plano) = I PA I

El punto A lo localizamos resoviendo el sistema formado por la recta y el plano inferior.

Ejemplo 3. Hallar la distancia entre los planos 2x + 2y - z + 3 = 0 y 4x + 4y - 3z - 12 = 0

Un punto P del primer plano es: ai x = 0, , y = 0 entonces z = 3 P (0, 0 ,3)

Un vector asociado a ese plano es n ( 2, 2, - 1)

La recta r será x = 2t, y = 2t, z = 3 - t

Calculamos el punto A, intersección de esta recta con el segundo plano. Para ello sustituimos la recta en el plano: 4(2t) + 4(2t) - 3(3 - t) - 12 = 0 implica - 21 + 19t = 0 implica t = 21/19

Hallamos A sustituyendo t en la recta x = 42/19, y = 42/19, z = 12 A( 42/19, 42/19, 12)

d( plano, plano) = I PA I = Raiz( 42/19)^2 +(42/19)^2 +(12 - 3)^2 = 95, 27

Ejercicio 3. Hallar la distancia entre los planos 4x + 4y - 2z - 12 = 0 y 2x + 2y - z + 3 = 0

SOLUCIONES

Ejercicio 1. Raiz 5/6

Ejercicio 2. Raiz 1/11

Ejercicio 3. 3

Se pueden demostrar fórmulas "recetarias" para realizar estos problemas. Con ellas se resolverán más rápido los ejercicios, pues el alumno memoriza la fórmula y tan sólo sustituye los datos. Esto hace que no realicen razonamientos de la situación del ejercicio, y se convierta la Geometría Analítica en un recetario de fórmulas a aplicar.

Cada profesor verá lo más conveniente para la formación de sus alumnos.

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