INTRODUCCIÓN
Una vez realizada la tabla de integrales inmediatas, se aconseja pasar a la integración de funciones casi-inmediatas, para lo cual es conveniente emplear el método de cambio de variable, que una vez dominado por el alumno, la realizará de forma inmediata.
MÉTODO DE CAMBIO DE VARIABLE
Ejemplo 1
Para hallar primitivas de por ejemplo, Integral ( x / x^2 + 3) dx, se realiza el cambio t = x^2 + 3.
A continuación se diferencia (derivada con la dx): 1.dt = 2x dx implica x dx = dt / 2
La integral pedida nos queda: Integral (1/t) dt/2 = 1/2 ln t = 1/2 ln (x^2 + 3) + C
Ejemplo 2
Integral x^2 /( x^3 - 1) dx
Hacemos el cambio: t = x^3 - 1
Diferenciamos: dt = 3 x^2 dx implica x^2 dx = dt/3
Sustituimos: Integral 1/t dt/3 = 1/3 ln t = 1/3 ln (x^3 - 1) + C
Ejemplo 3
Integral x^3 .Raiz (3x^4 + 2) dx
Hacemos el cambio: t = 3x^4 + 2)
Diferenciamos: dt = 12 x^3 dx implica x^3 dx = dt/12
Sustituimos: Integral (Raiz t ). dt/12 = 1/12 Integral t^(1/2) = 1/12 t^(3/2) /(3/2) =
= 1/12 . 2/3 Raiz (t^3) = 1/18 t Raiz t = 1/18 (3 x^4 + 2) Raiz ( 3 x^4 + 2) + C
Ejemplo 4
Integral 4x / Raiz cúbica ( 8 - x^2) dx
Hacemos el cambio: t = 8 - x^2
Diferenciamos: dt = - 2x dx implica x dx = -dt/2
Sustituimos: Integral 4/ Raiz cúbica t .( -dt/2) = - 2 Integral raiz cúbica t = - 2 t^(1/3) =
= - 2 t^(4/3) / 4/3 = - 3/2 Raiz cúbica t^4 = - 3/2 t. Raiz cúbica t =
= - 3/2 (8 - x^2) Raiz cúbica (8 -x^2) + C
Ejemplo 5
Integral x. Raiz (2 x^2 + 5) dx
Hacemos el cambio: t = (2 x^2 + 5)
Diferenciamos: dt = 4x dx implica x dx = dt/4
Sustituimos: Integral (Raiz t) dt/4 = 1/4 Integral raiz t = 1/4 Integral t^(1/2) =
= 1/4.t^(3/2) /3/2 = 1/6 t^(3/2) = 1/6 t Raiz t = 1/6 (2 x^2 + 5) Raiz (2 x^2 + 5) + C
Una vez realizados numerosos ejercicios por este método, el alumno podrá realizar la integración casi directamente, en situaciones no complejas.
