Posición relativa de dos planos en el espacio

INTRODUCCIÓN

En artículos anteriores hemos visto las ecuaciones del plano. Ahora vamos a ver las distintas posiciones que puede tener dos planos en el espacio.

Nos auxiliamos de unos dibujos. Pueden suceder los siguientes casos:

1) Planos paralelos.

2) Planos que se cortan.

3) Planos superpuestos.

PLANOS PARALELOS

No tienen ningún punto en común. Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de los planos, nos sale Incompatible. Los coeficientes de las incógnitas son proporcionale,.pero la de los términos independientes

Ejemplo Estudiar el posicionamiento de los planos:

3x + y - 2z = 1

- 6x - 2y + 4z = 3

Resolvemos el sistema. Multipilcamos por dos la primera y la sumamos a la seguda, y nos queda 0 = 5. Absurdo. El sistema es Incompatible.

Se verifica la proporcionalidad 3 / - 6 = 1 /- 2 = - 2 / 4

Los planos son paralelos

PLANOS QUE SE CORTAN

Tienen en común una recta. Al resolver el sitema sale Compatible Indeterminado; tiene pues infinitas soluciones que son los puntos de la recta común a los dos planos.

No hay proporcionalidad entre los coeficiente ni término independiente

Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:

3x + y - 2z = 1

4x - 2y + 3z = 5

Eliminamos la y, multiplicando por 2 la primera y sumándola con la segunda:

10x - z = 7 Hacemos z = t, y tenemos x = 7/ 10 - t /10

y en la segunda 28/10 - 2y + 3t = 7 implica 2y = 28 /70 - 7 + 3t implica 2y = - 42 / 10 + 3t

implica y = - 21 / 10 + (3 / 2) t

La solución es la recta x = 7 /10 - (1/ 10) t

y = - 21/ 10 + (3 / 2) t

z = t

Los planos se cortan.

PLANOS COINCIDENTES

Tienen todos los puntos en común. Todos los coeficientes y el término independiente son proporcionales.

Ejemplo Estudiar el posicionamiento de los planos:

3x + y - 2z = 1

6x + 2y - 4z = 2

Vemos que se verifica que 3 / 6 = 1 / 2 = - 2 / - 4 = 1 / 2 en todos los coeficiente y el término independiente

Ejercicio 1 Hallar la posición de los planos:

2x - y + 3z = 1

x + y - z = 0 Solución: Los planos s cortan.

Ejercicio 2 Hallar la posición relativa de los planos:

3x - 2y - z = 1

12x - 8y - 4z = 4 Solución: Los planos coinciden.

Ejercicio 3 Hallar la posición de los planos:

x - y - z = 1

- 2x + 2y + 2z = 2 Solución: Los planos son paralelos.

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