INTRODUCCIÓN
En artículos anteriores hemos visto las ecuaciones del plano. Ahora vamos a ver las distintas posiciones que puede tener dos planos en el espacio.
Nos auxiliamos de unos dibujos. Pueden suceder los siguientes casos:
1) Planos paralelos.
2) Planos que se cortan.
3) Planos superpuestos.
PLANOS PARALELOS
No tienen ningún punto en común. Al resolver el sistema formado por las ecuaciones de los planos, nos sale Incompatible. Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero no la de los términos independientes.
Ejemplo Estudiar el posicionamiento de los planos:
3x + y - 2z = 1
- 6x - 2y + 4z = 3
Resolvemos el sistema. Multipilcamos por dos la primera y la sumamos a la segunda, y nos queda 0 = 5. Absurdo. El sistema es Incompatible.
Se verifica la proporcionalidad 3 / - 6 = 1 /- 2 = - 2 / 4 distinto de 1/3
Los planos son paralelos.
PLANOS QUE SE CORTAN
Tienen en común una recta. Al resolver el sitema sale Compatible Indeterminado; tiene pues infinitas soluciones que son los puntos de la recta común a los dos planos.
No hay proporcionalidad entre los coeficientes ni términos independientes.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
3x + y - 2z = 1
4x - 2y + 3z = 5
Eliminamos la y, multiplicando por 2 la primera y sumándola con la segunda:
10x - z = 7 Hacemos z = t, y tenemos x = 7/ 10 - t /10
y en la segunda 28/10 - 4t/10 - 2y + 3t = 7 implica 2y = 28 /10 - 7 + )26/10)t implica
y = - 21/10 + (13/5)t
La solución es la recta x = 7 /10 - (1/ 10) t
y = - 21/ 10 + (13 / 10) t
z = t
Vemos también que no hay proporcionalidad entre los coeficientes, ni términos independientes
Los planos se cortan.
PLANOS COINCIDENTES
Tienen todos los puntos en común. Todos los coeficientes y el término independiente son proporcionales.
Ejemplo Estudiar el posicionamiento de los planos:
3x + y - 2z = 1
6x + 2y - 4z = 2
Vemos que se verifica que 3 / 6 = 1 / 2 = - 2 / - 4 = 1 / 2 en todos los coeficiente y el término independiente
Ejercicio 1 Hallar la posición de los planos:
2x - y + 3z = 1
x + y - z = 0 Solución: Los planos se cortan.
Ejercicio 2 Hallar la posición relativa de los planos:
3x - 2y - z = 1
12x - 8y - 4z = 4 Solución: Los planos coinciden.
Ejercicio 3 Hallar la posición de los planos:
x - y - z = 1
- 2x + 2y + 2z = 2 Solución: Los planos son paralelos.