INTRODUCCIÓN
En anteriores artículos hemos visto las ecuaciones de la recta en el espacio. Ahora estudiamos el posicionamiento de dos rectas.
Primeramente realizamos una gráfica de los diferentes casos que pueden ocurrir:
1) Las rectas se cortan.
2) Las rectas se cruzan
3) Las rectas son paralelas.
4) Las rectas se superponen.
RECTAS QUE SE CORTAN
En este caso los vectores directores tienen diferente dirección, Sus componentes no son proporcionales. El sistema formado por sus ecuaciones es Compatible Determinado.
Ejemplo Sea r x = - 2 + t Sea s x = - 1 - t´
y = 3 - 2t y = 1 + t´
z = 1 + t z = 2 Hallar su posición relativa.
Un vector director de r es v (1, - 2, 1) Un vector director de s es u(- 1, 1, 0)
Veamos si son dependientes o independientes. 1/ - 1 no = - 2/1 no = 1/0 por tanto son linealmente independientes, tiene diferente dirección.
Ahora elegimos un punto P de r y otro Q de s, y formamos el vector PQ
Para que se corten las rectas, han de estar en el mismo plano, es decir los tres vectores u, v y PQ han de ser linealmente dependientes.
P(- 2, 3, 1) Q(- 1, 1, 2) Por tanto PQ = (- 1 + 2, 1 - 3, 2 -1) = (1, - 2, 1)
Son linealmente dependientes pues coinciden v y PQ
Por tanto las rectas se cortan.
RECTAS QUE SE CRUZAN
En este caso las rectas están situadas en dos planos paralelos, y los vectores directores tienen diferente dirección, son linealmente independientes y sus componentes no son proporcionales.
Los vectores u, v y PQ son linealmente independientes, por lo que el determinante formado por ellos es distinto de cero.
Ejemplo Estudiar la posición relativa de las rectas:
r: x = 3t s: x = - 3 + 2t´
y = 1 - t y = 5 - t´
z = 2 - 3t z = t´
Los vectores directores son v (3, - 1. - 3) u (2, - 1, 1) que tienen diferente dirección pues las componentes no son proporcionales.
P (0, 1, 2) Q (- 3, 5, 0) PQ (- 3, 4, - 2). Veamos si están situados en diferentes planos. Formamos el determinante:
3 - 1 - 3
2 - 1 1
- 3 4 - 2
Si lo desarrollamos nos queda 8, distinto de cero, por lo que son independientes.
Las rectas se cruzan.
RECTAS PARALELAS
En este caso los vectores directores de las rectas han de tener la misma dirección. han de ser linealmente dependientes, por lo que sus componentes son proporcionales. Además un punto cualquiera de r no puede estar en s y viceversa.
Ejemplo Hallar la posición relativa de las rectas:
r: x = - 1 - t s: x = 2 - 2t
y = 2 + 2t y = - 1 + 4t
z = 3 + t z = 1 + 2t
Tenemos v ( - 1, 2, 1) u ( - 2, 4. 2) Como - 1/- 2 = 2/4 = 1/2 tienen la misma dirección.
Además un punto de r, por ejemplo P(- 1, 2, 3) no está en la recta s, ya que si lo sustituimos en ella tenemos: - 1 = 2 - 2t implica t = 3/2
2 = - 1 + 4t implica t = 3/4
3 = 1 + 2t implica t = 1 y al salir distinto quiere decir que no está ese punto en la recta s.
Por tanto son rectas paralelas.
RECTAS SUPERPUESTAS
En este caso los vectores directores han de tener la misma dirección, sus componentes han de ser proporcionales. Además todo punto de r ha de estar en s y viceversa.
Ejemplo Hallar la posición relativa de las rectas:
r: x = 2 - 3t s: x = 2 + 3t
y = - 1 + t y = - 1 - t
z = 1 - t z = 1 + t
Lo vectores directores son v ( - 3, 1, - 1) u (3, - 1, 1) tienen la misma dirección, pues sus componentes son proporcionales - 3/ 3 = 1/ - 1 = - 1/ 1
Si elegimos un punto de r P( 2, -1, 1), vemos que está en s.
También 2 = 2 + 3t implica t = 0
- 1 = - 1 + t implica t = 0
1 = 1 + t implica t = 0
Las rectas son coincidentes o superpuestas.
Ejercicio 1. Hallar la posición relativa de las rectas r: (x - 1) / 2 = (y + 2) / - 1 = - z / 3
s: x = 1 + 4t
y = - 2 - 2t
z = 6t Solución: Son superpuestas.
Ejercicio 2. Hallar la posición relativa de las rectas r: x / 3 = (y - 1) / - 1 = (z - 2) / - 3
s: x - 2z + 3 = 0
y + z - 5 = 0 Solución: Se cruzan.
