INTRODUCCIÓN
En artículo anterior hemos visto las ecuaciones del plano. Ahora vamos a ver las diferentes posiciones de tres planos en el espacio. Y establecemos todos los casos que pueden ocurrir, con la ilustración adjunta.
1) Los tres planos se cortan en un punto.
2) Los tres planos se cortan en una recta.
3) Dos planos son coincidentes y el otro los corta.
4) Los tres planos son coincidentes.
5) Los tres planos son paralelos.
6) Dos planos son paralelos y el otro los corta.
7) Los tres planos se cortan dos a dos.
8) Dos planos son coincidentes y el otro paralelo.
1) LOS TRES PLANOS SE CORTAN EN UN PUNTO
En este caso el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos, es Compatible Determinado. Tiene pues una sóla solución, que son las coordenadas del punto donde se cortan.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
3x + y + 2z = 0
2x - 5y + 3z - 1 = 0
x + 3y = 0
Resolvemos el sistema por triangulación de la matriz ampliada:
3 1 2 0 Nos queda 3 1 2 0
2 - 5 3 1 0 - 11 3 1 r(A) = r(A´= 3 = nº incog.
1 3 0 0 0 0 - 2 - 8 S.C.D.
Por tanto, z = - 8/- 2 = 4, - 11y = 1 - 3.4 implica y = 1, 3x = - 8 - 1 implica x = - 3
El punto donde se cortan los tres planos es P ( - 3, 1, 4)
2) LOS TRES PLANOS SE CORTAN EN UNA RECTA
En este caso el sistema es Compatible Indeterminado, y los rangos de las matrices es 2.
También todos los menores de orden 2 son distintos de cero.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
3x - 2y + 2z - 1 = 0
2x - 5 y + 3z - 1 = 0
x + 3y - z = 0
Resolvemos matricialmente
1 3 - 1 0
2 - 5 3 1
3 - 2 2 1
Al triangularla nos queda la matriz:
1 3 - 1 0
0 - 11 5 1
0 0 0 0 r(C) = r(A) = 2 < nº incógniras(3) Por tanto Compatible Indeterminado, y la solución nos da la ecuación de la recta donde se cortan los tres planos:
x = 3 /11 - (4/11) t
y = - 1/11 + (5/11) t
z = t
3) DOS PLANOS SON COINCIDENTES Y EL OTRO LOS CORTA
Hay proporcionalidad entre todos los coeficientes y términos independientes de dos planos. Los rangos de C y A salen 2, y un menor de orden dos es distinto de cero. Sistema Compatible Indeterminado.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
x + 2y - z - 1 = 0
2x - y - z + 1 = 0
- x - 2y + z + 1 =0 En los planos 1º y 3º se verifica 1 / - 1 = 2 / - 2 = - 1 / 1 = - 1 / 1, por tanto los dos están superpuestos.
1 2 - 1 1
2 - 1 - 1 - 1
- 1 - 2 1 - 1 Al triangularla nos queda:
1 - 2 - 1 1
0 3 1 -3
0 0 0 0 Por tanto r(C) = r(A) = 2 y un menor es distinto de cero. Sistema C.Ind.
Dos planos son superpuestos y el otro los corta. Si resovemos el sistema nos sale la ecuación de la recta intersección:
x = - 1 + (5/3) t
y = - 1 - (1/3) t
z = t
4) LOS TRES PLANOS SON COINCIDENTES
Tiene que haber proporcionalidad en todos los coeficientes y términos independientes en los tres planos. Los rangos de C y A salen 1. El sistema es Compatible Indeterminado.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
x - y + 2z - 1 = 0
2x - 2y + 4z - 2 = 0
- x + y - 2z + 1 = 0
Con el 1º y 2º: 1 / 2 = - 1 /- 2 = 2 /4 = - 1 /- 2, Con el 1º y 3º: 1/ -1 = - 1 / 1 = - 1 / 1 = - 1 / 1 Con el 2º y 3º: 2 / - 1 = - 2 / 1 = 4 / - 2 = - 2 / 1
Los tres planos están superpuestos.
5) LOS TRES PLANOS SON PARALELOS
Hay proporcionalidad sólo entre los coeficientes de los tres planos. El sistema es Incompatible.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
x + 2y - z +2 = 0
2x + 4y - 2 z + 1 = 0
- 2x - 4y + 2z + 1 = 0
Vemos que hay proporcionalidad entre los coeficientes de los planos dos s dos, pero no con los términos independientes.
Los planos son paralelos.
6) DOS PLANOS SON PARALELOS Y EL OTRO LOS CORTA
Tiene que haber proporcionalidad de los coeficientes en dos plano. El sistema es Incompatible. r(C) = 2, r(A) = 3. Un menor de orden 2 distinto de cero.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
- x + y + z + 1 = 0
2x - 2y - 2 z - 1 = 0
x - 2y - 3z + 2 = 0
Los coeficientes de los dos primeros planos son proporcionales. Son paralelos.
Si resolvemos matricialmente:
- 1 1 1 - 1
2 - 2 -2 1
1 - 2 - 3 - 2 que triangulada nos queda:
- 1 1 1 - 1
0 - 1 - 2 -3
0 0 0 - 1 r(C) = 2, r(A) = 3 Sistema Incompatible y un menor de orden 2 distinto de cero.
Dos planos son paraleleos y el otro los corta.
7) LOS PLANOS SE CORTAN DOS A DOS
El sistema es incompatible, r(C) = 2, r(A) = 3 Todos los menores de orden 2 de C son distintos de cero.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
3x - 5y + 2z - 4 = 0 3 - 5 2 4
2x - 5y + 3z - 1 = 0 2 - 5 3 1
x + 3y - 4z = 0 1 3 - 4 0 Triangulada nos queda:
3 - 5 2 4
0 14 14 4
0 0 0 - 30 Vemos que r(C) = 2, r(A) = 3 Sistema Incompatible y todos los menores de orden dos son distintos de cero.
Los planos se cortan dos a dos
8) DOS PLANOS SON COINCIDENTES Y EL OTRO PARALELO
Hay proporcionalidad de los coeficientes en los tres planos y en los términos independientes en dos de los planos. El sistema es Incompatible. r(C) = 1, r(A) = 2.
Ejemplo Hallar la posición relativa de los planos:
x + 3y - z + 1 = 0 1 3 - 1 - 1
2x + 6y - 2z + 2 = 0 2 6 - 2 - 2
- x - 3y + z + 1 = 0 - 1 - 3 1 - 1 Triangulada nos queda:
1 3 - 1 - 1
0 0 0 - 2
0 0 0 0 r(C) = 1, r(A) = 2. Sistema Incompatible.
Además entre los dos primeros planos 1 / 2 = 3 / 6 = - 1 / - 2 = 1 / 2
Y entre el primero y el tercero 1 / -1 = 3 / - 3 = - 1 / 1
Hay dos planos coincidentes y el otro es paralelo.
RESUMEN
Según sea el sistema formado por los tres planos:
Caso
S.C.D. 1
S.C.I. 2, 3, 4
S.I. 5, 6, 7, 8
Ejercicio Estudiar la posición relativa de los tres planos dados, según los distintos valores del parámetro m.
mx + y - z = 1
2x - y + mz = 3m
x - 2y + (m + 1)z = 3m - 1
Estudiamos los rangos de las matrices C y A. Para ello resolvemos el determinante de C:
det C = - m(m - 1) + 4 + m - 1 + 2(m)^2 - 2m - 2 = m^2 - 2m + 1.
Lo igualamos a cero y resolvemos m = (2 +- Raiz 0) / 2 = 1
Si m = 1 r(C) = 2. Hallamos el rango de A:
1 1 - 1 1
2 - 1 1 3
1 - 2 2 2 Triangulamos esta matriz, haciendo ceros los elementos debajo de la diagonal principal. es decir - 2 F1 + F2 , - F1 + F3 y - F2 + F3:
1 1 - 1 1
0 - 3 3 1
0 0 0 0
Por tanto r(C) = r(A) = 2 Sistema Compatible Indeterminado. Como todos los menores de orden dos son distintos de cero, concluímos que los tres planos se cortan en una recta.
Calculamos esta recta, resolviendo el sistema:
z = t
- 3y = 1 - 3t implica y = - 1/3 + t
x = 1 + t - ( - 1/3 + t) = 4/3 por tanto la recta intersección de los tres planos viene dada en paramétricas por:
x = - 4/3
y = - 1/3 + t
z = t
Si m es distinto de 1 r(C) = r(A) = 3 = nº incógnitas. Sistema Compatible Determinado.
Las rectas se cortan en un punto.
