¿Por qué un vector perpendicular al plano Ax + By + Cz + D = 0, es n (A. B. C)

INTRODUCCIÓN

En un artículo anterior hemos visto que la ecuación de un plano viene dada por: Ax + By + Cz + D = 0

Vamos a ver ahora, por qué el vector n (A, B, C) es perpendicular al plano. Se le llama vector asociado a un plano.

Tenemos que saber que el producto escalar de dos vectores u .v= IuI.IvI. cos( u, v) y también que en base ortonormal,u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Si dos vectores son perpendiculares, el cos (u, v) = 0, por lo que u.v = 0

DEMOSTRACIÓN

Viene ilustrada con la figura primera. Tenemos un plano Ax + By + Cz + D = 0.

Tomamos dos puntos P y Q del plano. P (x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2)

Como P pertenece al plano, satisface su ecuación, es decir A x1 + B y1 + C z1 + D = 0

Como Q pertenece al plano, satisface su ecuación, es decir A x2 + B y2 + C z2 + D = 0

Si restamos miembro a miembro estas dos ecuaciones, nos queda:

A (x1 - x2) + B (y1 -y2) + C (z1 - z2) = 0, es decir el vector (A, B, C) y PQ son perpendiculares, pues su producto escalar es cero.

PQ está en el plano, luego n(A, B, C) es perperpendicular al plano. Es el vector asociado al plano.

Por tanto un plano queda definido si conocemos un punto de él y un vector asociado al plano.

Ejemplo 1 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(5. - 3, 1) y tiene de vector asociado n( - 1, 1, 2)

El plano será de la forma - x + y + 2z + D = 0

Como pasa por P, se verifica - 5 + 1 + 2 + D = 0 implica que D = 6.

Por tanto el plano es - x + y + 2z + 6 = 0

Ejemplo 2 (fig 2) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta x = y = z, y que contiene al punto P (3, - 1, 2)

Si la recta es perpendicular al plano, un vector director de ella, es vector asociado al plano. la rtecta nos la dan en forma continua, por lo que v (1, 1, 1). ya tenemos un punto del plano y su vector asociado n (1, 1, 1). la ecuación del plano será:

x + y + z + D = 0. Y como pasa por el punto P (3. - 1, 2) se cumplirá que

3 - 1 + 2 + D = 0 implica D = - 4 La ecuación pèdida es x + y + z - 4 = 0

Ejempo 3 (fig. 3) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta r dada por 2x + y = 5, x - z = 2

Tenemos el punto del plano O (0, 0,0). Nos falta el vector asociado, que será el vector director de la recta, pues perpendicular al plano pedido.

La recta r viene dada en forma reducida, como intersección de dos planos. Si resolvemos el sistema, nos dará la interseción, la recta en forma paramétrica.

Hacemos z = t, y nos queda x = 2 + t , y = 5 - 2x = 5 - 2(2 + t) = 1 - 2t

Por tanto r es x = 2 + t

y = 1 - 2t

z = t Un vector director es v (1, - 2, 1) que será el asociado al plano.

por tanto el plano es x - 2y + z + D = 0. como pasa por = (0, 0, 0), 0 + D = 0 implica D = 0

El plano pedido es x - 2y + z = 0

DIDÁCTICA

En la realización de problemas, recomendamos dibujar esquemáticamente, la situación pedida, pues facilita mucho el planteamiento del problema, y observar lo que tenemos que conseguir para hallar la ecuación pedida.

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