INTRODUCCIÓN
En un artículo anterior hemos visto que la ecuación de un plano viene dada por: Ax + By + Cz + D = 0
Vamos a ver ahora, por qué el vector n (A, B, C) es perpendicular al plano. Se le llama vector asociado a un plano o vector normal del plano.
Tenemos que saber que el producto escalar de dos vectores u .v = IuI.IvI. cos( u, v) y también que en base ortonormal, u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
Si dos vectores son perpendiculares, el cos (u, v) = 0, por lo que u.v = 0
DEMOSTRACIÓN
Viene ilustrada con la figura primera. Tenemos un plano Ax + By + Cz + D = 0.
Tomamos dos puntos P y Q del plano. P (x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2)
Como P pertenece al plano, satisface su ecuación, es decir A x1 + B y1 + C z1 + D = 0
Como Q pertenece al plano, satisface su ecuación, es decir A x2 + B y2 + C z2 + D = 0
Si restamos miembro a miembro estas dos ecuaciones, nos queda:
A (x1 - x2) + B (y1 -y2) + C (z1 - z2) = 0, es decir el vector (A, B, C) y PQ son perpendiculares, pues su producto escalar es cero.
PQ está en el plano, luego n (A, B, C) es perperpendicular al plano. Es el vector asociado al plano.
Por tanto un plano queda definido si conocemos un punto de él y un vector asociado al plano.
Ejemplo 1 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(5. - 3, 1) y tiene de vector asociado n( - 1, 1, 2)
El plano será de la forma - x + y + 2z + D = 0
Como pasa por P, se verifica - 5 - 3 + 2 + D = 0 implica que D = 6.
Por tanto el plano es - x + y + 2z + 6 = 0
Ejemplo 2 (fig 2) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta x = y = z, y que contiene al punto P (3, - 1, 2)
Si la recta es perpendicular al plano, un vector director de ella, es vector asociado al plano. la recta nos la dan en forma continua, por lo que v (1, 1, 1). ya tenemos un punto del plano y su vector asociado n (1, 1, 1). la ecuación del plano será:
x + y + z + D = 0. Y como pasa por el punto P (3. - 1, 2) se cumplirá que
3 - 1 + 2 + D = 0 implica D = - 4 La ecuación pedida es x + y + z - 4 = 0
Ejempo 3 (fig. 3) Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta r dada por 2x + y = 5, x - z = 2
Tenemos el punto del plano O (0, 0,0). Nos falta el vector asociado, que será el vector director de la recta, pues perpendicular al plano pedido.
La recta r viene dada en forma reducida, como intersección de dos planos. Si resolvemos el sistema, nos dará la interseción, la recta en forma paramétrica.
Hacemos z = t, y nos queda x = 2 + t , y = 5 - 2x = 5 - 2(2 + t) = 1 - 2t
Por tanto r es x = 2 + t
y = 1 - 2t
z = t Un vector director es v (1, - 2, 1) que será el asociado al plano.
por tanto el plano es x - 2y + z + D = 0. como pasa por = (0, 0, 0), 0 + D = 0 implica D = 0
El plano pedido es x - 2y + z = 0
DIDÁCTICA
En la realización de problemas, recomendamos dibujar esquemáticamente, la situación pedida, pues facilita mucho el planteamiento del problema, y observar lo que tenemos que conseguir para hallar la ecuación pedida.
