¡Hola a todos!
Bienvenidos a mi blog como profesor de matemáticas.
Hoy voy a hablaros sobre el Teorema de Stokes.
Sea S la superficie cilíndrica con tapa, siendo unión de dos superficies S_1 y S_2 tal que:
- S_1 : x^2 +y^2 =1 , 0<=z<=1
- S_2 : x^2 +y^2 +(z-1)^2 = 1 , z>=1
Orientadas con la normal que apunta hacia afuera del cilindro y de la esfera, respectivamente.
Sea F(x,y,z)=(zx+z^2y+x, z^3yx+y, z^4x^2). Calcular \int_S (\nabla x F) dS
Solución:
Tenemos, por un lado, un cilindro que va de 0 a 1 y una esfera centrada en z=1. Al ser unión de dos superficies, lo que resulta es en un cilindro cuyo techo sería una "bóveda".
Recordamos que Stokes dice lo siguiente:
\int \int (\nabla x F) dS = \int_\partial S_+ F dS (I)
Es decir, si logro encontrar la integral de \int_\partial S F dS, me será mucho más fácil que calcular el rotor y demás. Entonces lo que intentaré es construir una parametrización del borde de dicha superficie (porque eso es lo que relaciona Stokes: una integral de superficie con el borde de dicha superficie respecto a un flujo F). Notemos que el borde de dicha unión de superficies se trata de una circunferencia de radio 1 .OJO, no puede considerarse un borde en S_1 \cap S_2, puesto que se trata de una UNION de superficies. Entonces el borde vendría a ser la base del cilindro que está en z=0.
Considero la parametrización \alpha : [0,2pi) -> R^3 tal que \alpha(t)=(cos(t),sen(t),0) la última componente es cero, pues este borde vive en el plano xy. r=1 por hipótesis. Recordemos que si integramos en el borde S, pues tendremos una integral curvilínea. Entonces la fórmula en cuestión sería:
\int_C f ds = \int_a ^b F(\alpha(t)) \alpha '(t) dt (II)
Tenemos entonces la curva definida por la parametrización:
\alpha(t)=(cos(t),sen(t),0) ; 0<=t<=2\pi
\alpha '(t) = (-sen(t),cos(t),0); 0<=t<=2\pi
Vemos que respeta la orientación (antihorario) del teorema. Recordemos que ese teorema dice que la curva parametrizada debe estar en sentido positivo (es decir, antihorario). Entonces:
\int_0 ^2pi (cos(t), sen(t),0)(-sen(t),cos(t),0) dt =
\int_0 ^2pi (-sen(t)cos(t)+sen(t) cos(t))dt=
\int_0 ^2pi 0 = 0
Luego:
\int \int (\nabla x F) dS = \int_\partial S_+ F dS = 0
