Didáctica de distancias entre puntos, rectas y planos en el espacio (II)

INTRODUCCIÓN

Siguiendo la misma didáctica, ilustramos los diferentes casos que vamos a tratar, que nos servirán de apoyo en las explicaciones y conseguir que los alumnois empleen el razonamiento, y no la memorización de fórmulas, que aplican directamente.

1) Distancia entre una recta y un plano.

2) Distancia entre dos rectas.

1) DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

La recta ha de ser paralela al plano (n x v = 0), pues en caso contrario la distancia es nula.

Dibujamos un plano con su vector asociado n,y una recta r paralela con su vector director v.

Tomamos un punto cualquiera de la recta P, y trazamos una recta, s perpendicular al plano, que lo corta en el punto A. d(r, plano) = I PA I

Vemos que A lo conseguimos como intersección del plano dado y la recta s, que está determinada por el punto P, siendo su vector director n.

Ejemplo 1. Hallar la distancia de la recta r a un plano, siendo:

r : /x - 1) / 2 = (y + 2) / - 1 = (z - 1) / 5 y el plano x - 3y - z + 5 = 0.

d (r, plano) = I PAI P es un punto cualquiera de la recta r, P( 1. - 2, 1). La recta r viene dada por este mismo punto y su vector director es n (1, -3, -1), es decir,

r : x = 1 + t, y = - 2 - 3t, z = 1 - t

El punto A lo localizamos resolviendo el sistema formado por el plano y la recta r. Sustituimos la recta en el plano y nos queda: 1 + t - 3(- 2 - 3t) - (1 - t) + 5 = 0 implica t = - 1

Sustituimos en la recta y tenemos el punto A (0, 1, 2)

Entonces d(r, plano) = I PA I = Raiz( (0 - 1)^2 + (1 + 2)^2 + (2 - 1)^2) = Raiz 11

Ejercicio 1. Hallar la distancia de la recta r (x - 1) / 2 = (y + 1) = (z - 2) / 3 al plano de ecuación 2x - 3y + z - 1 = 0

2) DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

a) Si las rectas se cortan (S.C.D.), o superponen(S.C.I.) la distancia es cero.

b) Si las rectas son paralelas (S.I.) y están situadas en el mismo plano.

c) Si las rectas se cruzan (S.I.)

b) Dibujamos las rectas en un plano, r y s. Cogemos un punto P de r, y tenemos que hallar otro punto A de s, que sea perpendicular. Trazamos por P un plano perpendicular a las rectas. Dibujamos su vector asociado n que coincide con el vector director v de r. Este plano queda definido por P, n = v

Localizamos el punto A de intersección de este plano con la recta s, resolviendo el sistema formado por el plano y la recta s.

d(r, s) = I PA I

Ejemplo 2. Hallar la distancia entre la recta r: (x -1) / 2 = (y + 1) / -1 = z + 3 y la recta s de ecuación (x + 2) / 4 = y / - 2 = (z - 1) / 2

d( r, s) = I PA I P pertenece a r, por tanto P( 1, - 1, - 3). El punto A de la recta s está en la perpendicular. Lo localizamos como intersección de la recta, s y de un plano perpendicular a ellas. Este plano pasa por P y n = v(1, 2, - 2). Es decir x + 2y - 2z + D = 0. Como pasa por P, lo satisface 1 + 2.(- 1) - 2.(- 3) + D = 0 implica D = - 5. El plano es x + 2y - 2z - 5 = 0.

La recta, s en paramétricas es x = - 2 + 4t, y = - 2t, z = 1 + 2t. La sustituimos en el plano y nos queda - 2 + 4t + 2(- 2t) - 2(1 + 2t) - 5 = 0 implica - 9 - 4t = 0 implica t = 9/4. Lo sustituimos en s y tenemos A( - 2 + 9, - 9/2, 9/2 + 1) = (22/2, -9/2, 11/2)

d(r, r´) = I PA I = Raiz (( 22/2 - 1)^2 + (- 9/2 + 1)^2 + (11/2 + 3)^2 ) = Raiz (738/ 4) = 13´6

Ejercicio 2.Hallar la distancia entre las rectas r: (x - 1)/ 2 = (y - 2) / - 1 = (z + 3) / - 2 y la recta de ecuación s: (x - 1) / - 4 = (y - 1) / 2 = (z - 1) / 4

c) Si las rectas se cruzan(S.I.)

Dibujamos dos planos paralelos. En el superior se encuentra r, en el inferior r´. Cogemos un punto P cualquiera de la recta r y trazamos una recta, s perpendicular al plano inferior. A es el punto de encuentro, que tenemos que localizar, pues d(r, r´) = I PA I

El punto A lo localizamos como intersección de la recta,, s y el plano inferior.

Plano inferior: Pasa por B y su vector asociado n = vxu, producto vectorial.

La recta, s viene determinada por el punto P y su vector dirctor es v = n

Ejemplo 3. Hallar la distancia entre las rectas r: x = 0, y = 0 r´: (x - 1) / 2 =(y + 2) / - 1 = (z - 3)

d(r. r´) = I PA I El punto A lo conseguimos como intersección del plano que pasa por r´ y la recta s perpendicular a r.

En esquema sería A, intersección de Plano inferior: B, n = v x u y recta s: P, v = n

Tomamos un punto P de la recta r, P (0, 0 ,0). Por él pasa la recta perpendicular de vector director v x u. Lo conseguimos con el determinante cuya primera fila es i, j, k y las componentes de v( 0. 0. 1),u( 2, - 1, 1). Al desarrollarlo nos queda i + 2jpor tanto n (1, 2, 0)

Plano que contiene a r´: x + 2y + D = 0. Como contiene a la recta r, contiene a un punto de ella el B( 1, - 2, 3), 1 - 4 + D = 0 implica D = 3. El plano es x + 3y + 3 = 0

La recta, s pasa por P(0, 0, 0) con v(1, 2, 0) x = t, y = 2t, z = 0

Resolvemos t + 2.2t + 3 = 0 implica t = - 3/5 A( - 3/5, - 6/5, 0)

d(r, r´) = I PA I = Raiz (9/25 + 36/25) = 1/5 Raiz 45

Ejercicio 3. Hallar la distancia entre las rectas r: (x + 1) = (y - 5) / 2 = (z + 1) / - 2 y la recta s: x/2 = (y + 1) / 3 = (z - 1) / - 1

SOLUCIONES

Ejercicio 1, d = 7´7

Ejercicio 2. d = 3´4

Ejercicio 3. d = 4

CONCLUSIONES DIDÁCTICAS

Estos ejercicios se pueden resolver aplicando fórmulas "recetarias", con las que el alumno no razona el problema; tan sólo memoriza la fórmula a aplicar y susttituye datos, pues no se le exige la demostración.

Cada profesor verá qué es lo más conveniente para la formación de sus alumnos.

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