La integración de funciones, el conseguir una primitiva de la función dada es, en muchos casos dificultosa, por lo que según sea la función dada, se utilizan métodos y técnicas que facilitan y conducen a la integración.
El método "por partes" se aplica, en la mayoría de los casos, a funciones que vienen dadas en forma de producto, tales como f(x) = x. senx, f(x) = x. e^x, f(x) = x. lnx.
Fórmula que se aplica
Integral u.dv = u.v - Integral v.du
La última integral de la fórmula, ha de ser menor o igual de compleja que la que se quiere realizar. Para ello hay que elegir adecuadamente la u y la dv.
Ejemplos
1) Integral (x. senx) dx
- Hacemos u = senx, dv = x dx En una igualdad con diferenciales, tiene que constar en los dos miembros la diferencia.l
- A continuación se diferencia u: du = senx dx
- A continuación se integra dv : Integral dv = v = x^2/2
Aplicamos la fórmula: Integral x. senx = senx. x^2/2 - Integral x^2/2 . senx dx
Vemos que el cambio elegido no es el correcto, pues esta última integral es más complicada que la dada.
Por tanto hacemos u = x, dv = senx dx
du = 1.dx, v = Integral senx dx = - cosx
Por tanto la integral pedida I = x.(- cosx) - Integral - cos x dx = - x cosx + senx + C
Vemos pues que en algunas situaciones elegimos mal el cambio, pero enseguida nos damos cuenta de la mala elección, rectificando con el otro cambio posible.
2) Integral (x. e^x) dx
Hacemos u = x y dv = e^x dx
du = 1 dx v = Integral e^x dx = e^x
Por tanto la integral pedida I = x. e^x - Integral e^x dx = x. e^x - e^x + C
3) Integral (e^x . senx) dx
Hacemos u = e^x y dv = senx dx
du = e^x dx v = Integral senx dx = - cosx
Por tanto nos queda I = e^x. (- cosx) - Integral (- cosx .e^x) dx
Esta nueva integral no es más complicada que la propuesta, es del mismo orden de dificultad.
Entonces procedemos a resolverla por partes:
u = e^x dv = - cos x dx
du = e^x v = Integral ( - cos x) dx = - senx
Nos queda I(1) = e^x. (- senx) - Integral (- senx). e^x dx.
Sustituyendo en I = - cosx. e^x - ( - e^x. senx - Integral - senx, e^x dx) =
= - cosx . e^x +`e^x senx - I
por tanto 2I = - cos x - e^x + sen x . e^x implica I = 1/2 (- cosx .e^x + senx, e^x) + C
4) Integral lnx dx
En esta integral no se aprecia el producto de dos funciones, pero se realiza por partes también.
Hacemos u = lnx, dv = dx
du = 1/x dx, v = x
Nos queda I = lnx. (x) - Integral x.1/x dx = x. lnx - Integral dx = x. lnx - x + C
5) Integral arctg x dx
Ocurre como en la anterior:
Hacemos u = arctg x, dv = dx
du = 1( (a + x^2) dx, v = x
Nos queda I = arctgx.(x) - Integral x dx = x. arctgx - x^2 / 2 + C
Conclusión
Para la integración de funciones se necesita buena soltura en derivación de funciones, y realizar muchas integrales casi inmediatas, para pasar después a los métodos de integración, que son muchos y variados.
Sin lugar a dudas la integración requiere más "ingenio" que la derivación y la experiencia de realizar muchos ejercicios es fundamental.