El método de integración por partes, de una función.

La integración de funciones, el conseguir una primitiva de la función dada es, en muchos casos dificultosa, por lo que según sea la función dada, se utilizan métodos y técnicas que facilitan y conducen a la integración.

El método "por partes" se aplica, en la mayoría de los casos, a funciones que vienen dadas en forma de producto, tales como f(x) = x. senx, f(x) = x. e^x, f(x) = x. lnx.

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Fórmula que se aplica

Integral u.dv = u.v - Integral v.du

La última integral de la fórmula, ha de ser menor o igual de compleja que la que se quiere realizar. Para ello hay que elegir adecuadamente la u y la dv.

Ejemplos

1) Integral (x. senx) dx

  • Hacemos u = senx, dv = x dx En una igualdad con diferenciales, tiene que constar en los dos miembros la diferencia.l
  • A continuación se diferencia u: du = senx dx
  • A continuación se integra dv : Integral dv = v = x^2/2

Aplicamos la fórmula: Integral x. senx = senx. x^2/2 - Integral x^2/2 . senx dx

Vemos que el cambio elegido no es el correcto, pues esta última integral es más complicada que la dada.

Por tanto hacemos u = x, dv = senx dx

du = 1.dx, v = Integral senx dx = - cosx

Por tanto la integral pedida I = x.(- cosx) - Integral - cos x dx = - x cosx + senx + C

Vemos pues que en algunas situaciones elegimos mal el cambio, pero enseguida nos damos cuenta de la mala elección, rectificando con el otro cambio posible.

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2) Integral (x. e^x) dx

Hacemos u = x y dv = e^x dx

du = 1 dx v = Integral e^x dx = e^x

Por tanto la integral pedida I = x. e^x - Integral e^x dx = x. e^x - e^x + C

3) Integral (e^x . senx) dx

Hacemos u = e^x y dv = senx dx

du = e^x dx v = Integral senx dx = - cosx

Por tanto nos queda I = e^x. (- cosx) - Integral (- cosx .e^x) dx

Esta nueva integral no es más complicada que la propuesta, es del mismo orden de dificultad.

Entonces procedemos a resolverla por partes:

u = e^x dv = - cos x dx

du = e^x v = Integral ( - cos x) dx = - senx

Nos queda I(1) = e^x. (- senx) - Integral (- senx). e^x dx.

Sustituyendo en I = - cosx. e^x - ( - e^x. senx - Integral - senx, e^x dx) =

= - cosx . e^x +`e^x senx - I

por tanto 2I = - cos x - e^x + sen x . e^x implica I = 1/2 (- cosx .e^x + senx, e^x) + C

4) Integral lnx dx

En esta integral no se aprecia el producto de dos funciones, pero se realiza por partes también.

Hacemos u = lnx, dv = dx

du = 1/x dx, v = x

Nos queda I = lnx. (x) - Integral x.1/x dx = x. lnx - Integral dx = x. lnx - x + C

5) Integral arctg x dx

Ocurre como en la anterior:

Hacemos u = arctg x, dv = dx

du = 1( (a + x^2) dx, v = x

Nos queda I = arctgx.(x) - Integral x dx = x. arctgx - x^2 / 2 + C

Conclusión

Para la integración de funciones se necesita buena soltura en derivación de funciones, y realizar muchas integrales casi inmediatas, para pasar después a los métodos de integración, que son muchos y variados.

Sin lugar a dudas la integración requiere más "ingenio" que la derivación y la experiencia de realizar muchos ejercicios es fundamental.

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