Optimización Matemática: Una aplicación de la derivada de una función

La llamada optimización de funciones, es la consecución de los máximos y mínimos relativos de una función, sometida a unas restricciones. Así podemos calcular, con toda precisión cuál serán las medidas (radio y altura) mínimas de una lata de refresco, para que contenga un cierto volumen.

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O bien, ¿qué esquinas cuadradas debemos recortar en una placa de cartón, para hacer una caja con volumen máximo?. Son numerosos los problemas que surgen en las empresas para fabricar una cierta cantidad de unidades de un producto, y conseguir el beneficio máximo.

Una vez que tengamos la función a optimizar, obtendremos los extremos relativos mediante la derivada de la función, e igualándola a cero. Recordemos que la derivada nos da la pendiente de la función, y claro en los máximos y mínimos la pendiente es cero. Nos saldrá una ecuación a resolver, y sus soluciones son los candidatos.Para practicar, aquí tienes un par de ejemplos que podrán ayudarte en tus clases de matemáticas.

Ejemplo 1. Optimización matemática

Calcular las dimensiones del rectángulo de mayor área y de perímetro constante e igual a 48m.

  • Nos piden el largo x y el ancho y
  • La función a optimizar es A = x.y

Como depende de dos variables, tenemos que ponerla en función de una sóla. Para ello buscamos una relación entre ellas. En el enunciado nos dicen que el perímetro es 48, es decir:

  • 2x + 2y = 48

De donde se deduce que 2y = 48 - 2x , y = 24 - x que sustituimos en A:

  • A = x.(24 - x) = 24x - x^2

Ahora obtenemos la derivada A´= 24 - 2x y la igualamos a cero:

  • 24 - 2x = 0, es decir x = 12m y = 12m.

Por tanto será un cuadrado de lado 12 cm.

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Ejemplo 2. Optimización matemática

Nos dan una plancha rectangular de cartón, de dimensiones 80cm y 50cm, y nos dicen que recortemos las esquinas en forma de cuadrado de lado x. De esta manera formamos una caja sin tapadera.¿Cuál debe ser la medida de x para que la caja tenga el Volumen máximo?

Al realizar la caja nos queda un paralelepipedo de base 80 - 2x por 50 - 2x y con altura x La función a optimizar es el Volumen V = (80 - x)(50 - 2x)x Como sólo depende de una variable, procedemos a hallar su derivada e igualar a cero:

  • V´= -2(50 - 2x^2) + (50 - 4x)(80 . 2x) = 0

Y operando llegamos a:

  • 3x^2 - 130x + 1000= 0

Que al resolver nos queda:

  • x= 33,3

Ésta no puede ser solución, pues no daría para la medida de 50cm. ¿Cuál es la solución? x = 10 cm es la solución. El volumen de la caja construída será V = 60.30.10 = 18000cm^3 = 18 litros.

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Son muchísimas las aplicaciones de la Optimización de funciones que se aplican en las empresas, para conseguir el mejor equilibrio entre costes y beneficios, en función de las unidades de producción. Si tienes dudas o quieres profundizar más en conceptos de la asignatura, busca un profesor particular de matemáticas que te pueda ayudar a aprobar matemáticas.

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