Los productos de vectores: por un número, escalar, vectorial y mixto

INTRODUCCIÓN

En artículo anterior se ha visto la definición de vector, que se caracteriza por tener módulo, dirección y sentido.

Ahora vemos los distintos productos que se pueden presentar con los vectores:

1) Producto de un número por un vector.

2) Producto escalar de vectores.

3) Producto vectorial de vectores.

4) Producto mixto de vectores.

1)PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR

Al multiplicar un número por un vector, permanece igual la dirección o recta soporte del vector.

Si el número es positivo, el sentido es el mismo, y el módulo quedará multiplicado por ese número.

Si el número es negativo. el sentido pasa a ser el contrario y el módulo quedará afectado por la multiplicación con ese número.

Ejemplo: a = 2i + 3j - k 4a = 8i + 12j - 4k

Vemos que IaI = Raiz ( 4 + 9 +1) = Raiz 14 y I4aI = Raiz (64 +144 + 16) = Raiz 224

Y se verifica que Raiz 224 = 4 Raiz 14 (comprobar en calculadora)

En la representación el vector queda aumentado en cuatro veces su tamaño.

Es fácil de entender con las fuerza ejercida sobre un cuerpo, f, y si le aplicamos 4f.

Si multiplicamos el número -2 pora, tendremos -2a = - 4i - 6j + 2k con I-2aI = Raiz( 16 + 36 + 4) = Raiz 56 y Raiz 56 = 2 Raiz 14 (comprobar en calculadora). El sentido de -2a será el contrario de a.

2)PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

Suponemos que los vectores está expresados en base ortonormal, en la cual los vectores son perpendiculares y de módulo unidad (i,j,k )

Definimosa.b =IaI. IbI. cos(a,b) El resultado es un número.

Sia = 2i +j - 3k, b=i - 2j + 2k a.b = 2.1 + 1. (-2) + (- 3). 2 = - 6

Ejemplo 1. Sia=i -j + 2k y b = 2i + 3j-k se pide:

a) a. b y ángulo que forman.

a. b = 1. 2 + (- 1). 3 + 2. (- 1) = - 3

cos (a. b) = (a. b) / IaI. IbI = - 3 / (Raiz 6).(Raiz 14) = - 0,32 implica que el ángulo que forman los vectores es 108º

Ejercicio 1. Dados los vectores a = i - j - k,b = 2j + k, hallar su producto escalar y el ángulo que forman.

Algunas aplicaciones

- Proyección de un vector sobre otro. Si nos fijamos en la definición del producto escalar, y enla figura 2, podemos ver que iai. cos (a.b) es la proyección de a sobre b. La proyección es una medida, por lo que siempre ha de ser positiva. Los vectores han de estar en el mismo plano.

Por tanto: Proyección de a sobre b =i a. b/ ibI I

Ejemplo 2 Si a = 2i+ j, b =3j Proyección de a sobre b = Ia. b / ibi I = 3 / Raiz 3

- Vectores perpendicularesSi dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero, ya que el cos 90º = 0.

Ejemplo 3. ¿Son perpendiculares los vectores a = - i + 2j - k y b = 3i - 2 k + j?

Hallamos el producto escalar a. b = (-1).3 + 2.(- 2) + (- 1).(1) = - 8 No son perpendiculares.

Ejercicio 2. Dados los vectores a = i - 3j , b = - i + 2j se pide la proyección de b sobre a, y si son perpendiculares.

3)PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Es otro vector, perpendicular al plano formado por los vectores multiplicandos a y b, su sentido el de un sacacorchos girando del primero al segundo y módulo dado por IaI.IbI. sen (a, b)

Ejemplo3. Hallar el producto vectorial de a = 2i + j , b = 3j, a^b

I a ^ b I = IaI.IbI.sen(a, b) = (Raiz 5). 3. sen (a, b) Hallemos el angulo.

a. b = IaI. IbI. cos (a. b) implica cos (a, b) = 3 / (Raiz 5).3 = 0´45 implica que el ángulo que forman a y b es de aproximadamente 63º. Sen 63º = = 0´89 (aplicar calculadora)

Por tanto i a ^ b I = (Raiz 5).3. 0´89 = = 5,97

Al girar el vector a hacia el vector b, se gira a izquierdas, por lo que el sacachorchos va hacia arriba y en dirección perpendicular al plano i, j, es decir en la dirección de k.

Ejercicio 3. Hallar el producto vectorial de b ^ a,con a = 3i + 2j, b = 4i

4)PRODUCTO MIXTO

En él intervienen tres vectores. Se escribe (a, b, c) = a.(b ^ c) es decir es el producto escalar de a por el producto vectoral de b y c. Se ha de segur el orden en el que figuran los vectores del producto vectorial:

a. (b ^ c) = (b ^ c).a = - a.(c ^ b)

Se verifica que a.(b ^ c) = c.(a ^ b) = b.(c ^ a) (obsérvese los posicionamientos)

Para su cálculo resulta cómodo formar el determinante con las componentes de los tres vectores, en el orden dado, y su desarrollo nos dará el producto mixto, que es el volumen del paralelepípedo formado por los tes vectores como lados.

Ejemplo 4. Hallar el producto mixto a.(b ^ c ), siendo a(1, 2,1), b(-1, 0, 2), c( 1. 0,1)

Formamos el determinante:

1 2 1

-1 0 2

1 0 1 que al desarrollarlo nos da 0 + 0 + 4 - (0 + 0 - 2) = 2

Ejercicio 4. Hallar el volumen del paralelepípedo de lados (2, 0, 0), (0. 3, 0), (0, 0, 4).

SOLUCIONES

1) a. b = - 3 (a,b) = 140º

2) 7 / Raiz 10

3) Módulo 7´8, dirección k, sentido hacia arriba.

4) 24 uc

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