Todo el mundo sabe que Pitágoras fue un matemático, pero son pocos quienes suelen acordarse de su teorema. Por otra parte, aún no he conocido a nadie que no estudie matemáticas que defienda la importancia de las raíces cuadradas. En realidad estos conceptos están muy relaciados y por ello, hoy os traigo este problema cotidiano para demostraros su utilidad y podáis aplicarlo en vuestros exámenes de matemáticas.
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Problema de matemáticas cotidiano
Hemos comprado un cuadro para colgarlo en el salón pero al llegar a casa nos damos cuenta que sus dimensiones son mayores que las de la puerta. Es decir, los lados de nuestro cuadro miden más que las longitudes del marco de nuestra puerta.
¿Qué hacemos ahora? ¿Rompemos el marco de la puerta? ¿Cortamos el cuadro?
Antes de volvernos locos y hacer algo de lo que arrepentirnos, Pitágoras nos da una forma de comprobar si podemos pasar el cuadro por la puerta. ¿Cómo? Con un par de operaciones, el Teorema de Pitágoras y un par de raíces cuadradas.
Lo primero será medir las longitudes de la puerta y del cuadro. En mi caso, mi puerta tiene 8 dm de alto por 6 dm de ancho y mi cuadro, que es cuadrado, tiene 8.5 dm de lado y un grosor de 1 dm. Puede que mi puerta sea muy pequeña, pero con estos valores evitamos resultados con muchos decimales.
Nuestra idea será introducir el cuadro por la diagonal del marco, que como sabemos, tiene mayor longitud. Utilizamos entonces el Teorema de Pitágoras: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".
Recordad que estamos trabajando con longitudes. Por tanto, de las dos soluciones de la raíz, tenemos que quedarnos con el valor positivo. Este paso se omitirá en los siguientes cálculos.
¿Y ya está? ¿Como el cuadro mide menos que la diagonal podemos pasarlo por la puerta? Aún no, bruto. Debemos tener en cuenta que el cuadro no es plano, sino que tiene un grosor, en nuestro caso 1 dm. Entonces tendremos que calcular el espacio que perdemos en las esquinas del marco.
Para tener mayor espacio para introducir el cuadro, el triángulo que forma el cuadro con las esquinas del marco debe ser isósceles (pensadlo un momento). Además nuestro triángulo es rectángulo y conocemos la longitud de la base, por tanto, podemos calcular la longitud de sus lados. ¿Cómo? Con Pitágoras en el triángulo (1):
Una vez conocidos los lados del triángulo, podemos calcular su altura, es decir, el espacio de la diagonal que perdemos para que el cuadro pase por la puerta. Aplicando de nuevo Pitágoras en el triángulo (2):
Teniendo en cuenta que esto ocurre en los dos extremos de la diagonal, solo nos falta comprobar si el doble de la altura h que hemos calculado sumado a la dimensión del cuadro es menor que la longitud de la diagonal:
¡Eureka! Podemos pasar el cuadro al salón sin destrozar nada. Ahora, como buenos matemáticos que somos, debemos preguntarnos si hay alguna fórmula para generalizar este problema. La respuesta es sí. Simplemente hay que revisar los cálculos que hemos hecho y veremos el siguiente resultado:
Proposición: Problema del Cuadro y la Puerta.
- Sean a y b las dimensiones de la puerta.
- Sea c la dimensión del cuadro. Si no es cuadrado, tomaremos c = mínimo{c1, c2} donde c1 y c2 son los lados del cuadro.
- Sea g el grosor del cuadro.
Entonces se debe cumplir que si llamamos:
El problema de las matemáticas es que suelen explicarse de forma muy abstracta. Por ello, cuando algún tema os parezca complicado, intentad verlo como un problema cotidiano. ¿Dónde podría enfrentarme a un problema así? Seguro que de esta forma lográis resolverlo.
