Estadística: Alguna aplicación de la Media y Desviación Típica

En el inicio de la Estadística descriptiva, los alumnos estudian la medida de posición central (la media) y la medida de dispersión(la desviación típica).

Sin necesidad de repasar grandes tablas de datos, estos dos parámetros nos dan información, de un modo rápido, de la forma de la distribución estadística.

Los estudiantes saben lo que es la Media Aritmética, pues la utilizan para saber su nota de evaluación, si la calificación se hace de este modo entre las notas sacadas en las evaluaciones.

Se suma la puntuación sacada en cada evaluación y se divide por el número de evaluaciones. Así, si un alumno ha realizado cuatro exámenes, todos con el mismo peso, y ha sacado 6, 5 ,7 y 3, tendremos una media de (6 + 5 + 7 + 3) / 4 = 21/4 = 5,25 aprobará.

Puede que el Profesor dé distinta importancia(peso) a estos exámenes , entonces tendremos la Media Ponderada. Si da el 25% para el primer examen, el 20% para el segundo, el 10% para el tercero y el 45% para el cuarto, tendremos de media ponderada:

( 0´25. 6 + 0´20. 5 + 0´10. 7 + 0´45. 3) = (1´5 + 1 + 0,7 + 1´35) = 1´5 + 1 + 0´7 + 1´35 = 4,55 suspenderá.

También suelen estar informados en esta media ponderada, pues en Selectividad se aplica, dando el 60% de la nota a la media aritmética de las obtenidas en 3º, 4º ESO, 1º y 2º de Bachillerato, y el 40% de la media aritmética obtenida en Selectividad.

Pero la Media aritmética no nos da una total información, por ejemplo de la homogeneidad de un conjunto de alumnos de una clase, que en el curso anterior su media ha sido de 6 en Matemáticas.

¿Se alegrará el Profesor de tener ese curso con esa Media? Pues dependerá de la Desviación Típica, otro de los parámetros estadísticos. Y es que al profesor le interesa que la clase esté "homogeneizada" en las notas obtenidas individualmente.

Supongamos una clase A con 20 alumnos que han obtenido en Matemáticas y en el curso anterior las calificaciones de: 7, 1, 7, 6, 9, 2, 3, 5, 9, 6, 2, 4, 8, 9, 3, 8, 7, 3, 2 y 5.

Su Media (7 + 1 + 8 + 6 + 10 + 2 + 3 + 5 + 10 + 6 + 1 + 4 + 8 + 9 + 8 + 9 + 7 + 3 + 2 + 5)/20 = = 114/20 = 5,7

Y consideremos otra B de 20 alumnos, con las notas de: 6, 5, 6, 7, 4, 5, 6, 4, 5, 8, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 4, 5, 4 y 6.

Su Media (6 + 5 + 6 + 7 + 4 + 5+ 6 + 4 + 5 + 8 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 4 + 5 + 4 + 6)/20 = = 106/20 = 5´3

Al profesor se le ofrece elegir cualquiera de esos grupos, con sólo la información de las medias obtenidas en el curso anterior. ¿Le dará igual al Profesor elegir cualquiera de los dos grupos?

Pues no, va a tener más facilidad de explicación en el grupo B, ya que aunque tenga una Media más baja, la Desviación Típica es menor, la clase es más homogénea en las notas y será mucho más fácil obtener mejores resultados que con el grupo A

La Desviación Típica nos da las desviaciones de las notas respecto a la media. Se halla con la raiz cuadrada de (Suma (x - media)^2 . frecuencia) / 20)

Para A X f (X - media)^2 (X- media)^2 . f

1 1 (1- 5´7)^2 (1 - 5´7)^2 .1 = 22´09

2 3 13´69 13´69 . 3 = 41´07

3 3 7´29 7´29 . 3 = 21´87

4 1 2´89 2´89 . 1 = 2´89

5 2 0´49 0´49 . 2 = 0´98

6 2 0´09 0´09 . 2 = 0´18

7 3 1´69 1´69 . 3 = 5´07

8 2 5´29 5´29 . 2 = 10´58

9 3 10´89 10´89 . 3 = 32´67

137´40 Desviación Tipica de A: Raiz cuadrada de (137´40 / 20) = 2´62

Para B X f (X - media)^2 (X - media)^2 . f

4 6 1´69 0´45

5 6 0´49 2´94

6 5 0´09 0´45

7 2 2´89 5´78

8 1 7´29 7´29

16´91

Desviación típica de B: Raiz cuadrada de (16´91 / 20) = 0´92

Observamos como la desviación Típica de B es menor que la del grupo A, lo que infiere que las notas de la clase B son más homogéneas, y a pesar de tener la media inferior a la de A, será mejor el rendimiento y la facilidad en las explicaciones.

Otro ejemplo muy claro es la talla de equipos de baloncesto.

Equipo A: (altura) Media de 1´92 Desviación Típica de 1´8

Equipo B (altura) Media de 1´99 Desviación Típica de 2´3

Se deduce que en el A los jugadores están más igualados en altura, pues la Desviación típica es menor. En B habrá algún jugador muy alto y bajo. Dependerá de las estrategias de los entrenadores el conformar los equipos.

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