INTRODUCCIÓN
En artículos anteriores hemos visto la manera de realizar ilustraciones de los enunciados de los problemas, con el fin de acometer el desarrollo analítico.
Seguimos poniendo ejemplos para otros tres problemas.
1) Hallar la ecuación de un plano que contiene a la recta r:
2x + 3y - 5z + 7 = 0, 5x + 4y + 7z + 1 = 0 y es prependicular al plano x - y + z = 0
Dibujamos el plano pedido y una recta r sobre él; esta recta viene dada como intersección de dos planos y representamos un punto A y su vector director v. A continuación trazamos un plano perpendicular, con su vector asociado n.
El plano queda definido por A, v, n
R: 23x + 24y+ z + 31 = 0
2) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta 3x + 5y + 7z - 5 = 0, x + y + z - 3 = 0 y es paralelo a la recta 4x + y + z = 0, 2x + 3y + 5z = 0
Dibujamos el plano pedido. Trazamos una recta r contenida en ese plano, intersección de los dos primeros planos dados; en ella aparece un punto A y su vector director v. Construimos otra recta s, paralela al plano pedido y como intersección de dos planos; en ella figura su vector director u.
El plano pedido vendrá definido por A, v, u
R: x + 4y + 7z + 3 = 0
3) Hallar el plano que pasando por el punto P (0, 0 ,1) sea perpendicular a los planos:
x + y - z + 1 = 0 y 2x - 5y - 3z + 3 = 0
Dibujamos el supuesto plano pedido, con el punto P. Trazamos dos planos perpendiculares a él, con sus vectores asociados n y n´. El plano pedido queda definido por A, n, n´. Tomamos un punto genérico del plano, X, y formamos el vector PX. Entonces PX, n, n´ son linealmente dependientes, por lo que el determinante formado por sus componentes es nulo.
R: 2x - 5y - 3z + 3 = 0
Puede suceder que los problemas se puedan reaolver de otra forma por los alumnos, llegando al mismo resultado, por lo que se pondrán en común y analizarán el método más eficaz.
Insistimos en que los alumnos deben trabajar los ejercicios analíticamente, en una primera etapa, en la que se le dan, mediante las ilustraciones, pistas para resolver el problema.